Benvenuta/o su StaticaFacile, in questa lezione-esercitazione tratterò i Raggi d’Inerzia di n Masse nel Piano – 1.
Il numero 1 sta lì perche questa è la prima parte della lezione ed è dedicata alle definizioni dei Raggi d’Inerzia e ad una semplice applicazione numerica.
Questo argomento interessa certamente agli studenti di Ingegneria o di Architettura ma forse anche ai ragazzi e ragazze degli indirizzi CAT (Costruzioni Ambiente Territorio) delle scuole superiori.
Inoltre potrebbe essere interessante anche per gli studenti di Fisica.
Come al solito vi anticipo la videolezione ma nel seguito troverete vari dettagli e spiegazioni.
1. Raggi d’Inerzia di n Masse nel Piano – 1: Definizioni e Formulazione Teorica dei Raggi d’Inerzia
In un sistema discreto composto n masse puntiformi mi disposte nel piano XY, sia ciascuna massa individuata dalle coordinate xi e yi.
I momenti d’inerzia del sistema di masse rispetto agli assi coordinati X e Y misurano la distribuzione spaziale della massa rispetto a tali assi. Essi si definiscono come segue:
Ix = ∑ mi ∙ yi2 Iy = ∑ mi ∙ xi2
Il momento centrifugo (o prodotto d’inerzia) è espresso così
Ixy = ∑ mi ∙ xi ∙ yi
Indichiamo con Mtot la massa totale del sistema:
Mtot = ∑ mi
I raggi d’inerzia (o raggi giratori) ρx e ρy rappresentano le distanze ideali dalle quali l’intera massa Mtot dovrebbe trovarsi concentrata per garantire il medesimo momento d’inerzia.
Le formule fondamentali per il loro calcolo rispetto all’origine del sistema O sonole seguenti:
ρx = √ ( Ix / Mtot ) ρy = √ ( Iy / Mtot )
2. Struttura del Tensore d’Inerzia 2D e 3D
Il tensore d’inerzia racchiude le proprietà inerziali del sistema in forma matriciale ed è essenziale per studiarne la risposta dinamica e le rotazioni.
Nel piano XY, il tensore d’inerzia bidimensionale espresso rispetto all’origine O si scrive come una matrice simmetrica 2×2:
1° Riga Ix –Ixy
2° Riga –Iyx Iy
Estendendo il sistema allo spazio tridimensionale 3D (con quota zi=0 per tutti i punti massa), il momento d’inerzia attorno all’asse polare Z è Iz=Ix+Iy, così come sancito dal Teorema degli Assi Perpendicolari.
Osserviamo inoltre che i prodotti d’inerzia contenenti la coordinata z sono tutti nulli
Ixz = Izx = Iyz = Izy = 0
Il tensore d’inerzia nello spazio tridimensionale sarà una matrice 3×3 così composta:
1° Riga Ix –Ixy –Ixz
2° Riga –Iyx Iy –Iyz
3° Riga –Iyx –Izy Iy
3. Calcolo dei Momenti, Tensori e Raggi d’Inerzia per un Sistema Assegnato
Consideriamo un sistema di 6 masse puntiformi con le caratteristiche che seguono:
m1 = 7 x1 = -2 y1 = -4 m2 = 4 x2 = 3 y2 = -2
m3 = 11 x3 = -3 y3 = 6 m4 = 6 x4 = 2 y4 = 8
m5 = 5 x5 = 4 y5 = 12 m6 = 9 x6 = 6 y6 = 5
Le masse sono espresse in grammi e le coordinate in centimetri.
Applicando le formule già citate nel primo paragrafo otterremo:
Mtot = ∑mi = 7+4+11+6+5+9 = 42 grammi
Ix = ∑mi.yi2 = 7.42+4.(-2)2+11.62+6.82+5.122+9.52 = 1853 g.cm2
Iy = ∑mi.xi2 = 7.(-2)2+4.32+11.(-3)2+6.22+5.42+9.62 = 591 g.cm2
Ixy = ∑mi.xi.yi = 7.(-2).(-4)+4.3.(-2)+11.(-3).6+6.2.8+5.4.12+9.6.5 = 440 g.cm2
Iz = Ix + Iy = 1853+591 = 2444 g.cm2
Ricordando che i momenti centrifughi contenenti la coordinata z=0 sono nulli i tensori d’inerzia risultano:
Tensore d’inerzia in ambiente bidimensionale
1° Riga 1853 –440
2° Riga –440 591
Tensore d’inerzia in ambiente tridimensionale
1° Riga 1853 –440 0,00
2° Riga –440 591 0,00
3° Riga 0,00 0,00 2444
4. Raggi d’Inerzia di n Masse nel Piano – 1: Determinazione dei Raggi d’Inerzia ρx e ρy
Dividendo i momenti d’inerzia Ix e Iy per la massa totale Mtot=42 grammi ed estraendo la radice quadrata, calcoliamo infine i valori dei raggi d’inerzia rispetto agli assi coordinati passanti per l’origine:
ρx = √ ( Ix / Mtot ) = √ ( 1853 / 42 ) = 6,64 cm
ρy = √ ( Iy / Mtot ) = √ ( 591 / 42 ) = 3,75 cm
Questi parametri confermano quantitativamente che la massa è distribuita a una distanza media superiore rispetto all’asse X rispetto a quanto non lo sia rispetto all’asse Y.
Nota: QUI troverete la lezione sul calcolo del baricentro di un sistema di masse puntiformi