Baricentro di un segmento parabolico generico

Ciao, benvenuta/o su StaticaFacile, questa lezione è dedicata al calcolo delle coordinate del baricentro di un segmento parabolico generico.

Considerato l’argomento, la lezione potrebbe esser utile agli studenti di Ingegneria, di Architettura e anche dei corsi CAT (Costruzioni Ambiente Territorio) delle scuole superiori.

Il calcolo delle coordinate del baricentro di un segmento parabolico generico  è utile come esercizio non solo nel settore della statica ma anche nel campo di applicazione degli integrali.

E allora questo calcolo viene qui eseguito utilizzando appunto gli integrali.

E’ nota la geometria di una generica parabola p di equazione p(x)=0,2x²-3,5x+17.

Il vertice della parabola C si trova alle coordinate (8,75;1,69).

Si consideri inoltre una retta r di equazione r(x)=0,3+8.

Tale retta intersecherà la parabola nei punti A(2,77;8,83) e B(16,23;12,87).

Il segmento parabolico di cui vogliamo trovare il baricentro è lo spazio piano compreso tra la parabola p e la retta r.

Qui vi anticipo la videolezione. Nel seguito troverete alcuni dettagli.

Le formule utilizzate per il calcolo del baricentro di un segmento parabolico generico

Per calcolare le coordinate del baricentro X_G e Y_G del segmento parabolico generico utilizziamo le formule classiche già studiate nelle precedenti lezioni:

X_G=S_y/A_tot e Y_G=S_x/A_tot

dove:

S_y è il momento statico del segmento parabolico generico rispetto all’asse y,

S_x è il momento statico del segmento parabolico generico rispetto all’asse x,

A_tot è l’area del segmento parabolico generico esprimibile con la nota formula A_tot=∫(dA)

Le formule per il calcolo delle coordinate baricentriche scritte in termini di integrali sono le seguenti:

X_G=∫(x.dA)/∫(dA) e Y_G=∫(y.dA)/∫(dA)

E allora passiamo al calcolo di X_G=S_y/A_tot e Y_G=S_x/A_tot  esaminando i vari step.

Definizione delle funzioni p(x) ed r(x) e del loro dominio

L’equazione della parabola è p(x)=0,2x²-3,5x+17.

L’equazione della retta è r(x)=0,3x+8.

In considerazione delle intersezioni della parabola p(x) con la retta r(x) il valore di x da considerare è compreso tra x=2,77 e x=16,23.

Questi saranno i limiti di integrazione in x.

La variabile y invece è compresa tra il valore relativo alla parabola di equazione p(x) e il valore relativo alla retta r(x).

E allora integreremo in y tra p(x)=0,2x²-3,5x+17 e r(x)=0,3x+8.

Calcolo dell’area del segmento parabolico generico

La formula che dovremmo utilizzare è questa A_tot=∫(dA).

Tuttavia se consideriamo il significato intrinseco degli integrali potremo usare l’area A₁ compresa tra l’asse x e la retta (integrale della retta) e l’area A₂ compresa tra l’asse x e la parabola.

Quindi otterremo per differenza l’area A che ci interessa A=A₁-A₂.

Quindi avremo:

A₁=∫[(0,3x+8)dx] da x=2,77 a x=16,23 e A₂=∫[(0,2x²-3,5x+17)dx] da x=2,77 a x=16,23.

Applicheremo le regole degli integrali definiti.

Troverete tutti i dettagli nella videolezione e il risultato sarà  A_tot=81,17 m².

Calcolo del Momento Statico S_y rispetto all’asse y

La formula che intendiamo utilizzare è questa S_y=∫(xdA)

In questo caso avremo una doppia integrazione così espressa S_y=∫(xdxdy)

Avremo l’integrale tra p(x)=0,2x^2-3,5x+17 e r(x)=0,3x+8 di x in dy come integrale più interno. Quindi avremo l’integrale più esterno in da 2,77 a 16,23.

Il che ci porterà alla conclusione che il momento statico del segmento parabolico generico rispetto all’asse y sarà S_y=771,12 m^3. I dettagli sono esposti nella videolezione.

Calcolo del Momento Statico S_x rispetto all’asse x

La formula che intendiamo utilizzare è questa S_x=∫(ydA)

Anche in questo caso avremo una doppia integrazione così espressa S_x=∫(ydydx).

Avremo quindi l’integrale più interno in dy  da p(x)=0,2x^2-3,5x+17 a r(x)=0,3x+8 e l’integrale più esterno in dx da 2,77 a 16,23.

Il che ci porterà alla conclusione che il momento statico del segmento parabolico generico rispetto all’asse x sarà S_x=586,86 m^3.

Come sempre i dettagli sono esposti nella videolezione.

Calcolo delle coordinate baricentriche X_G e Y_G

A questo punto non ci resta che calcolare le coordinate baricentriche X_G e Y_G con le formule già note. Avremo:

X_G=∫(x.dA)/∫(dA)=771,12/81,17=9,50 m

Y_G=∫(y.dA)/∫(dA)=586,86/81,17=7,23 m

Ma adesso ti consiglio di seguire con calma la videolezione, ti sarà utile.

Inoltre a questi link troverai le lezioni precedenti.

Baricentri di figure piane semplici , Baricentri di sezioni a doppio T, Baricentro del trapezio senza gli integrali, Baricentro del trapezio con gli integrali,

Baricentro di un segmento parabolico, Baricentro di un segmento mezzo parabolico

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