Ciao, benvenuta/o su StaticaFacile, questa lezione è dedicata al calcolo del baricentro del trapezio con gli integrali.
Considerato l’argomento, la lezione si rivolge agli studenti di Ingegneria, di Architettura e anche dei corsi CAT (Costruzioni Ambiente Territorio) delle scuole superiori.
Il calcolo delle calcolo del baricentro del trapezio con gli integrali è un concetto fondamentale in geometria analitica.
Questo calcolo viene qui perseguito utilizzando gli integrali.
E’ nota tutta la geometria del trapezio di vertici O, E, F, D (Figura 1).
In particolare la base maggiore (OD) B=130 cm, la base minore (EF) b=50 cm, l’altezza h=78 cm.
Inoltre conosciamo la base a=20 cm della parte triangolare a sx della base maggiore e la base c=60 cm della parte triangolare a dx della base maggiore.
Nel vertice O viene posta l’origine del sistema di riferimento X Y che governa il problema.
Si tratta quindi di un trapezio qualunque.
Qui vi anticipo la videolezione. Nel seguito troverete alcuni dettagli.
Le formule utilizzate per il calcolo del baricentro del trapezio con gli integrali
Per calcolare le coordinate baricentriche XG e YG si utilizzano le formule classiche già studiate nelle precedenti lezioni:
XG=Sy/Atot e YG=Sx/Atot
dove:
Sy=∫(x.dA) è il momento statico della figura trapezio rispetto all’asse y
Sx=∫(y.dA) è il momento statico della figura trapezio rispetto all’asse x
Atot=∫dA è l’area totale del trapezio
Le formule scritte in termini di integrali sono le seguenti:
XG=∫(x.dA)/∫dA e YG= ∫(y.dA)/∫dA
Definizione della funzione y(x) e del suo dominio nel calcolo del baricentro del trapezio con gli integrali
Il trapezio può essere rappresentato nel piano X Y attraverso tre rette di cui trovare le equazioni.
Il primo tratto di retta che ci interessa è il lato OE di cui evidentemente conosciamo le coordinate degli estremi O(0;0) E(20;78).
La variabile x va da 0 a 20 cm mentre la variabile y va da 0 a 78 cm.
Il secondo tratto è la base minore EF con estremi E(20;78) F(70;78).
La variabile x va da 20 cm a 70 cm, la variabile y resta costantemente uguale a 78 cm.
Il terzo è ultimo tratto, il lato sinistro del trapezio, è FD con estremi F(70;78) D(130;0).
La variabile x va da 70 a 130 cm mentre la variabile y va da 78 a 0 cm.
E allora la funzione da integrare y(x) sarà la seguente (Figura 2):
0 ≤ x ≤ 20 y(x)=3,9x
20 ≤ x ≤ 70 y(x)=78
70 ≤ x ≤ 130 y(x)=169-1,3x
Ovviamente le equazioni delle rette si ricavano con i metodi ampiamente conosciuti della geometria analitica.
Definita la funzione y(x) passiamo alle varie integrazioni.
Calcolo dell’area del trapezio
La formula che intendiamo utilizzare è questa Atot=∫dA (Figura 3)
Ovviamente si tratta di una doppia integrazione tenendo conto che dA=dx.dy
Quindi procederemo all’integrazione in dx da 0 a 130 dei tre integrali più interni in dy, il primo da 0 a 3,9 x, il secondo da 0 a 78 e il terzo da 0 a (169-1,3x).
Eseguita le integrazioni in dy passeremo all’integrazione in dx avendo cura di suddividere nei tre tratti da x=0 a x=20, da x=20 a x=70, da x=70 a y=130.
Troverete tutti i dettagli nella videolezione e il risultato sarà Atot=7020 cm^2.
Calcolo del Momento Statico rispetto all’asse y Sy
La formula che intendiamo utilizzare è questa Sy=∫(xdA)
Anche in questo caso avremo una doppia integrazione così espressa Sy=∫(xdxdy)
Avremo quindi l’integrale da 0 a 130 di x in dx dei tre tratti di funzione y(x) in dy, in particolare da 0 a 3,9 x, 0 a 78 e da 0 a (169-1,3x).
Eseguite le integrazioni interne in dy si passa all’integrazione in dx avendo cura di suddividere nei tre tratti da x=0 a x=20, da x=20 a x=70, da x=70 a y=130.
Il che ci porterà alla conclusione che il momento statico del trapezio rispetto all’asse y sarà Sy=396500 cm^3.
I dettagli sono nella videolezione.
Calcolo del Momento Statico rispetto all’asse x Sx
La formula che intendiamo utilizzare è questa Sx=∫(ydA)
Anche in questo caso avremo una doppia integrazione così espressa Sx=∫(ydxdy)
Avremo quindi l’integrale da 0 a 130 in dx dei tre tratti della funzione y(x) quindi di y in dy, in particolare da 0 a 3,9 x, 0 a 78 e da 0 a (169-1,3x).
Eseguite le integrazioni interne di y in dy si passa all’integrazione in dx avendo cura di suddividere nei tre tratti da x=0 a x=20, da x=20 a x=70, da x=70 a y=130.
La conclusione è che il momento statico del trapezio rispetto all’asse x sarà Sx=233220 cm^3.
I dettagli sono nella videolezione.
Calcolo delle coordinate baricentriche XG e YG
A questo punto non ci resta che calcolare le coordinate baricentriche XG e YG con le formule già note (Figura 4):
XG=∫(x.dA)/∫(dA)=396500/7020=56,48 cm
YG=∫(y.dA)/∫(dA)=233220/7020=33,22 cm
Ma adesso ti consiglio di seguire con calma la videolezione, ti sarà utile.
Le lezioni precedenti sono queste: Baricentri di figure piane semplici, Baricentri di sezioni a doppio T, Baricentro del trapezio senza gli integrali