Ciao, benvenuto/a o bentornato/a su StaticaFacile, questa lezione è dedicata alla Funicolare di un carico triangolare decrescente.
Praticamente è un esercizio perché gli aspetti teorici relativi all’equazione differenziale della curva funicolare sono stati già trattati in una delle precedenti lezioni.
Comunque per meglio chiarire l’argomento eccoti il titolo completo: Studio della curva funicolare di un carico distribuito lineare triangolare decrescente
L’argomento può esserti utile se studi Ingegneria o Architettura, oppure se sei uno studente CAT (Costruzioni Ambiente e Territorio) alle superiori.
Ma veniamo al dunque, l’equazione del carico distribuito uniforme è questa q(x)=-q.x/L+q, l’abbiamo ricavata in questa lezione.
L’equazione differenziale generale della curva funicolare è f’’(x)=-q(x)/H.
Detto a parole la derivata seconda rispetto a x della funzione funicolare f(x) è pari al rapporto col segno meno tra la funzione di carico q(x) e la distanza polare H.
Ma adesso lascia che ti anticipi la videolezione così puoi guardarla subito, nel seguito troverai altri dettagli.
I dettagli della lezione sulla funicolare di un carico triangolare decrescente
Il primo passo da fare è scrivere l’equazione differenziale di f(x) per il carico q(x)=-q.x/L+q, quindi l’espressione dell’equazione si scriverà così f’’(x)=(q/H).((x/L)-1).
Da qui eseguiamo la prima integrazione ottenendo la derivata prima di f(x),
f’(x)= (q/H).INTEGRALE[((x/L)-1)dx] (Figura 2)
Passiamo quindi alla seconda integrazione ottenendo
f(x)=INTEGRALE[INTEGRALE[((x/L)-1)dx]]dx (Figura 2)
Da qui si applicano le regole degli integrali definiti pervenendo all’espressione di f(x) in funzione delle costanti di integrazione C1 e C2.
L’espressione è la seguente f(x)=(q/H)[(x^3)/(6.L)-(x^2/2)+C1.x+C2]
Non resta quindi che calcolare le costanti d’integrazione C1 e C2.
Per farlo imponiamo che la funzione funicolare f(x) valga zero in x=0 e in x=L dove L è l’estensione del carico distribuito uniforme.
Se in x=0 abbiamo f(0)=0 si verificherà che C2=0.
Analogamente ponendo f(L)=0 avremo C1=L/3.
Il che ci permette di concludere che l’equazione della funicolare del carico distribuito lineare triangolare crescente è f(x)=(q/H)[(x^3)/6L-x^2/2+L.x/3].
Osserviamo che la funzione è del terzo ordine.
E’ ora opportuno fare una importante considerazione.
Se poniamo la distanza polare H pari a 1 l’equazione funicolare sarà:
f(x)=q.[(x^3)/6L-x^2/2+L.x/3]
In più, ci interessa l’ascissa alla quale la funzione esprime il suo valore massimo.
Come sapete dall’analisi matematica un punto di massimo può esistere dove la derivata della funzione è nulla.
Il che ci porta all’espressione della prima derivata e al suo annullamento.
L’espressione della derivata prima di f(x) è f’(x)=q.(x^2/2L-x+L/3).
Ponendola uguale a zero avremo q.(x^2/2L-x+L/3)=0 da cui x=L(1-1/3^0,5).
Quindi in corrispondenza di x=L(1-1/3^0,5) avremo il massimo valore di f(x).
Passando al calcolo avremo fmax=(q.L^2)/9.3^0,5.
Nel caso ti servisse, qui c’è la lezione sulla funicolare di carico triangolare crescente e qui quella sulla funicolare di carico distribuito uniforme
Troverai i dettagli dei passaggi matematici nella videolezione che ti consiglio di seguire, vedrai che ti sarà utile. Buon studio.