Baricentro del triangolo

Ciao, benvenuta/o su StaticaFacile, questa lezione-esercitazione è dedicata al Baricentro del triangolo.

Considerato l’argomento, la lezione si rivolge agli studenti di Ingegneria, di Architettura e anche dei corsi CAT (Costruzioni Ambiente Territorio) delle scuole superiori.

Il calcolo delle coordinate baricentriche di un triangolo è un concetto fondamentale in geometria analitica.

Questo calcolo viene qui perseguito in due modi, attraverso le mediane del triangolo e poi tramite la media pesata delle coordinate dei vertici.

Il metodo basato sulle mediane prevede calcoli geometrici e l’uso di alcuni teoremi.

E’ nota la geometria del triangolo avvero la lunghezza dei lati e gli angoli interni.

Nella lezione si esaminano i casi del triangolo scaleno, ottusangolo, rettangolo, isoscele, equilatero.

Saranno citati alcuni teoremi fondamentali della geometria.

Qui ti anticipo la videolezione, nel suguito troverai i dettagli.

Baricentro del triangolo scaleno – Metodo delle mediane

Un triangolo scaleno ha tre lati di lunghezza diversa e, in generale, non ha angoli particolari.

Consideriamo un triangolo di vertici A, B e C (Figura 2).

Gli angoli interni (noti) saranno α (opposto al vertice A), β (opposto al vertice B) e γ (opposto al vertice C).

Consideriamo come base di lunghezza a il lato BC, il cateto a sinistra sarà AB di lunghezza c, il cateto a destra sarà AC di lunghezza b.   

Per calcolare le coordinate baricentriche del baricentro X_G e Y_G, si useranno le lunghezze dei lati, le lunghezze delle mediane e alcuni angoli interni.

Sappiamo che il baricentro divide ogni mediana in due parti di cui l’una il doppio dell’altra.

Possiamo inoltre calcolare la lunghezza delle mediane t_a, t_b e t_c con le formule derivanti dal Teorema di Stewart (Figura 3):

t_a=[(b²+c²)/2-a²/4]^0,5      t_b=[(a²+c²)/2-b²/4]^0,5       t_c=[(a²+b²)/2-c²/4]^0,5

A questo punto istituiamo un sistema di riferimento x y nel vertice più in basso e più a sinistra in modo tale che la figura ricada completamente nel primo quadrante.

Baricentro del triangolo scaleno – Metodo delle mediane – Le formule di calcolo

Calcoliamo la coordinata baricentrica X_G con le formule che seguono (Figura 4):

 X_G=2[t_b.cosε]/3      ε=arcsin[(b.sinγ)/2.t_b]         t_b=[(a²+c²)/2-b²/4]^0,5             

Queste formule sono spiegate e dimostrate nella videolezione qui allegata che ti invito a seguire.

L’angolo ε è quello formata dalla mediana t_b con l’orizzontale.

Invece γ è l’angolo compreso tra la base del triangolo BC e il cateto di dx AC.

Queste formule permettono di trovare le coordinate baricentriche sfruttando le misure dei lati e degli angoli del triangolo e le relazione tra loro.

La coordinata baricentrica Y_G avrà come ordinata la misura h/3, dove h è l’altezza del triangolo: Y_G=h/3

Nella videolezione viene proposto un secondo metodo di calcolo che potrà essere utilizzati in alcuni casi come ad esempio il triangolo ottusangolo.

Triangolo ottusangolo

Un triangolo ottusangolo ha uno degli angoli interni angolo maggiore di 90°.

In questo caso, il baricentro rimane comunque all’interno del triangolo.

Le coordinate baricentriche  X_G e Y_G  possono essere calcolate con le stesse formule già studiate prima.

A patto che l’origine del sistema di riferimento sia posizionato nel vertice B.

Qualora volessimo posizionare l’origine del sistema sull’intersezione della verticale passante per il vertice A e dell’orizzontale passante dal vertice B, allora dovremmo utilizzare la relazione seguente (Figura 5): 

X_G=a-[(2(a²+b²)-c²(1+sin²β)]^0,5+c.cos(180-β)

Triangolo rettangoloTriangolo Rettangolo

Il caso del triangolo rettangolo è particolarmente semplice.

Si applicano le relazioni già viste prima ma l’angolo di 90° semplifica le cose di molto.

La coordinate X_G e Y_G (X_G=a/3 e Y_G=h/3) si trovano a 1/3 dei lati che delimitano l’angolo retto.

Ovviamente l’origine del sistema di riferimento è posizionata nel vertice dell’angolo retto.

Troverete i dettagli nelle videolezione.

Baricentro del triangolo: Il metodo della media pesata delle coordinate dei vertici

La lezione si conclude col metodo della media pesata delle coordinate dei vertici del triangolo.

A tal proposito si dimostra che le coordinate baricentriche X_G e Y_G per qualsiasi triangolo possono essere calcolate così:

X_G=(x_A+x_B+x_C)/3  Y_G=(y_A+y_B+y_C)/3

Conclusioni

In conclusione, il calcolo delle coordinate baricentriche varia a seconda del tipo di triangolo.

Ma l’uso di teoremi classici come quelli di Ceva, Stewart, dei Seni e del Coseno facilita la determinazione esatta del baricentro in ogni configurazione.