Ciao, benvenuta/o su StaticaFacile, questa lezione/esercitazione è dedicata al Calcolo Integrale del Tensore d’Inerzia del Cilindro.
L’argomento potrebbe essere utile agli studenti di Ingegneria o di Architettura.
Tuttavia potrebbe essere interessante anche per gli studenti di Fisica.
Infatti, lo studio delle inerzie, nell’ambito della geometria delle masse, ha una notevole importanza in molti settori.
Qui ti anticipo la videolezione che ti esorto a seguire con calma. Prova inoltre a svolgere l’esercizio proposto ed eventualmente ad assegnartene altri autonomamente.
Nel seguito troverai i dettagli scritti della videolezione.
(1) Calcolo Integrale del Tensore d’Inerzia del Cilindro. Introduzione.
Il Tensore d’Inerzia rappresenta la grandezza fondamentale della Meccanica Razionale che descrive il comportamento di un corpo rigido soggetto a sollecitazioni rotazionali.
Quando posizioniamo il sistema di riferimento cartesiano ortogonale XYZ direttamente nel baricentro G di un cilindro omogeneo, l’analisi delle componenti del tensore si semplifica notevolmente grazie alle proprietà di simmetria della geometria del solido.
I Momenti Centrifughi o Prodotti d’Inerzia Ixy Iyx Ixz Izx Iyz Izy misurano l’asimmetria della distribuzione di massa rispetto ai piani coordinati.
Nel caso del cilindro con sistema di riferimento baricentrico, i piani cartesiani costituiscono piani di simmetria speculare.
Di conseguenza, gli assi cartesiani coincidono con gli assi principali d’inerzia e la matrice del Tensore d’Inerzia risulta perfettamente diagonale.
I momenti centrifughi rispetto agli assi principali d’inerzia (assi di simmetria) sono nulli.
(2) Calcolo Integrale del Tensore d’Inerzia del Cilindro. Integrazione in coordinate cilindriche e calcolo di Izz
Il momento d’inerzia azimutale Izz, relativo all’asse di simmetria longitudinale del cilindro (quando orientato lungo Z), misura la resistenza del solido alla rotazione attorno al proprio asse.
Per determinarlo analiticamente si adotta un approccio per integrazione tripla basato sulle coordinate cilindriche r, φ e z
L’elemento infinitesimo di volume è espresso dalla relazione dV=rdr∙dφ∙dz.
La massa elementare, con ρ densità di massa, equivale dm=ρ∙dV
Integrando la distanza al quadrato r2 dall’asse Z sull’intero dominio triplo (r da 0 ad R, φ da 0 a 2π, e z da -H/2 a +H/2), si risolve il prodotto di tre integrali indipendenti.
L’integrazione rispetto all’angolo azimutale φ fornisce un fattore 2π, mentre l’integrazione sulla variabile radiale restituisce il termine R4/4.
Sostituendo la massa totale del corpo M=ρ∙π∙R2∙H, si giunge alla formula
Izz = M∙R2/2
(3) Valutazione dei momenti trasversali Ixx ed Iyy
La determinazione dei momenti d’inerzia ortogonali Ixx ed Iyy, sviluppati rispetto agli assi trasversali passanti per il baricentro, richiede l’applicazione del principio di sovrapposizione e della decomposizione delle distanze cartesiane.
Per un generico elemento infinitesimo di massa dm alle coordinate x y z, la distanza al quadrato dall’asse X corrisponde alla quantità y2+z2.
Tale quantità viene espressa in coordinate cilindriche tramite il termine r2∙sin2(φ)+z2
Ora consideriamo l’integrale triplo per il primo contributo legato alla componente y2=r2∙sin2(φ)
Occorre valutare l’integrale trigonometico definito ∫sin2(φ)dφ per 0 ≤ φ ≤ 2π, il cui valore analitico risulta pari a π.
Il secondo contributo, legato all’altezza z2, dipende da ∫z2dz per –H/2 ≤ z ≤ +H/2. Il risultato sarà H^3/12
Sommando formalmente i due contributi integrali e sfruttando la simmetria trasversale del solido per cui Ixx = Iyy, si ottiene l’espressione analitica definitiva
Ixx = Iyy = M∙(R2/4 + H2/12)
(4) Applicazione numerica: Cilindro in acciaio orientato lungo X
Prendiamo in esame la risoluzione numerica dettagliata per un cilindro in acciaio avente i seguenti dati:
lunghezza H = 170 mm
raggio R = 2,5 mm
densità di massa
ρ = 0,00785 g/mm3
In questa specifica configurazione l’asse longitudinale del cilindro coincide con l’asse X, imponendo lo scambio dei ruoli funzionali delle formule analitiche.
Il volume complessivo ammonta a
V = π ∙ R2 ∙ H = 3337,94 mm3
cui corrisponde una massa totale di
M = ρ∙V = 26,2028 g
Il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione longitudinale X risulta pari a
Ixx = M . R2/2 = 81,884 g.mm2
I momenti centrifughi o momenti msiti valgono
Iyy = Izz = M(R2/4+H2/12)=26,2028∙(1,5625+2408,3333)=63146,08 g∙mm2
Il tensore d’inerzia espresso in forma matriciale si presenta diagonale con valori che seguono
Ixx = 81,884, Iyy = Izz = 63146,08, Ixy = Iyx = Ixz = Izx = Iyz = Izy =0