Questa lezione è dedicata allo SPAZIO EUCLIDEO e alle proprietà algebriche che lo caratterizzano.
La videolezione presenta inizialmente alcune informazioni di tipo più “culturale” sulla geometria euclidea con i relativi cenni storici.
Troverete molto interessante quanto esposto sulla Enciclopedia Treccani in merito alla geometria euclidea.
Si tratta di informazioni utili per meglio inquadrare lo spazio euclideo che è l’argomento principale della lezione qui di seguito riportata.
Inizialmente cito i principi fondativi dell’opera di Euclide, i tredici libri degli ELEMENTI, con i ventitré termini, i cinque postulati e le cinque nozioni comuni.
Uno dei ventitré termini recita così: Linea è una lunghezza senza larghezza.
Dei postulati cito il quarto: Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.
Un esempio di nozione comune è invece questo: Cose che possono essere portate a sovrapporsi l’una con l’altra sono uguali tra loro.
La cosa che stupisce di più è che la nostra conoscenza si basa su concetti elaborati nel terzo secolo a.C. e cioè 2322 anni orsono o se preferite circa 23 secoli!
La geometria euclidea si basa su due strumenti fondamentali: La costruzione con riga e compasso e la dimostrazione.
In questa lezione viene citata la costruzione del triangolo equilatero e la relativa dimostrazione.
Solo nel 1899 il matematico David Hilbert riorganizzò le teorie euclidee istituendo un sistema di 21 assiomi.
Eccovene uno: Per ogni coppia di punti distinti passa una e una sola retta.
Per i più curiosi gli assiomi di Hilbert si trovano qui .
Successivamente, attraverso il concetto di prodotto cartesiano tra insiemi si passa a definire lo spazio euclideo n-dimensionale che è l’insieme Rn = R1 x R2 x R3 x … x Ri x … x Rn dove R è l’insieme dei numeri reali.
Nello spazio euclideo vengono definiti punti e vettori colonna composti da ennuple ordinate di numeri reali.
Nella figura qui accanto si evidenziano vettori colonna a due componenti.
Si passa poi all’associazione delle operazioni di somma tra vettori e di prodotto tra scalare e vettore con lo spazio euclideo.
La conclusione è che lo spazio euclideo Rn è un gruppo commutativo e possiede ulteriori proprietà algebriche inerenti alle due operazioni prima citate.
Le proprietà algebriche che risultano verificate sono quindi le seguenti: (1) esistenza dell’elemento neutro rispetto alla somma (2) validità della proprietà associativa rispetto alla somma (3) esistenza dell’elemento inverso (4) validità della proprietà commutativa rispetto alla somma.
E adesso conviene seguire la videolezione. Buon studio.