Ciao, benvenuta/o su StaticaFacile, questa lezione-esercitazione è dedicata al calcolo degli Autovalori del Tensore d’Inerzia di un sistema di masse puntiformi.
L’argomento potrebbe essere utile agli studenti di Ingegneria, di Architettura e anche dei corsi CAT (Costruzioni Ambiente Territorio) delle scuole superiori.
Gli Autovalori del Tensore d’Inerzia sono strumenti fondamentale della meccanica razionale e della dinamica dei corpi rigidi.
Essi descrivono i momenti d’inerzia principali avvero quei momenti correlati con le rotazioni attorno agli assi principali d’inerzia.
Ma ora, qui vi anticipo la videolezione. Nel seguito troverete le considerazioni di dettaglio.
Autovalori del Tensore d’Inerzia – Significato fisico e matematico
Il Tensore d’Inerzia è un oggetto fondamentale della meccanica razionale perché sintetizza l’effetto della distribuzione di massa sulla dinamica rotazionale di un sistema.
In questo ambito ci riferiamo ad un sistema di masse puntiformi.
Per tale sistema, il Tensore d’Inerzia si costruisce a partire dalle coordinate dei punti e risulta una matrice reale e simmetrica di ordine tre.
Questa proprietà matematica è cruciale: garantisce l’esistenza di tre autovalori reali e di una terna di autovettori ortogonali.
Dal punto di vista fisico, ciò significa che esistono sempre tre assi privilegiati, detti assi principali d’inerzia.
Rispetto a questi assi il moto rotatorio assume la forma più semplice possibile, stabile e priva di effetti distorsivi della rotazione.
Esempio numerico di tensore d’inerzia associato ad un sistema di sei masse
Consideriamo come esempio numerico il tensore d’inerzia rappresentato dalla seguente matrice 3×3
Questo tensore si riferisce ad un sistema di sei masse puntiforme studiato nella lezione precedente che troverai qui.
La presenza di termini extradiagonali diversi da zero indica che gli assi cartesiani scelti non coincidono con gli assi principali.
Un tensore di questo tipo è caratteristico di un sistema di masse puntiformi distribuite in modo asimmetrico nello spazio.
I termini (-59), (-30) e (-147) sono prodotti d’inerzia (si chiamano anche momenti centrifughi o misti) e rappresentano l’accoppiamento tra le rotazioni attorno ad assi diversi.
Calcolo degli autovalori e momenti principali d’inerzia
Il calcolo degli autovalori si basa sulla risoluzione dell’equazione caratteristica
det(I-α.Id)=0
I è il tensore d’inerzia, α rappresenta gli autovalori, Id è la matrice identità.
Poiché il tensore d’inerzia è una matrice reale e simmetrica, il teorema spettrale garantisce che i tre autovalori α1, α2, α3 sono numeri reali.
L’equazione caratteristica conduce a un polinomio cubico che nel caso in esame ha questa forma:
–α3+2874∙α2-2686495∙α+818426178=0
Sebbene la risoluzione analitica sia formalmente possibile, nella pratica si ricorre a metodi numerici.
In questo caso abbiamo studiato la funzione utilizzando l’applicazione GeoGebra
f(α)=–α3+2874∙α2-2686495∙α+818426178
Per il tensore considerato si ottengono tre autovalori reali.
Essi coincidono con le soluzioni dell’equazione di terzo grado ovvero con i punti in cui la curva f(α) taglia l’asse X:
α1=728,037898556009
α2=908,253779377515
α3=1237,70832206647
Queste soluzioni sono a quelle esatte a 12 cifre decimali che determinano f(α)=0
Tuttavia, commettendo un lievissimo errore, possiamo approssimarle anche così:
α1=728,0379 α2=908,2538 α3=1237,7083
I tre autovalori rappresentano i tre momenti principali d’inerzia (espressi in kg∙m2) del sistema rispetto al polo scelto (origine del sistema di riferimento).
Conclusioni: dal calcolo formale all’interpretazione fisica
In conclusione, possiamo affermare che il calcolo degli autovalori del tensore d’inerzia è un problema di algebra lineare applicata a una matrice simmetrica.
Tuttavia è bene ricordare che trovare autovalori (e autovettori) significa individuare la struttura dinamica naturale del sistema in rapporto alle sue modalità di rotazione.
È in questo passaggio che la matematica smette di essere solo calcolo e diventa uno strumento essenziale per comprendere in profondità il moto rotatorio.
I momenti d’inerzia di una sola massa puntiforme in un sistema XYZ furono spiegati in questa lezione
In queste due altre lezioni spiegai il tensore d’inerzia per una massa puntiforme:
Tensore d’inerzia di una massa puntiforme
Esercizio numerico sul calcolo del tensore d’inerzia di una massa puntiforme