Questa lezione è dedicata al PRODOTTO CARTESIANO tra insiemi.
I prodotti cartesiani si chiamano così perché René Descartes (Renato Cartesio o più comunemente Cartesio), nel creare la creare la geometria analitica, usò per primo ciò che oggi chiamiamo ℝ 2 = ℝ × ℝ per rappresentare il piano euclideo, e ℝ 3 = ℝ × ℝ × ℝ per rappresentare lo spazio euclideo tridimensionale.
ℝ, insieme dei numeri reali, rappresenta una retta, la retta reale.
A proposito di CARTESIO
Cartesio (René Descartes) fu un filosofo e matematico francese, fra i principali fondatori della matematica e della filosofia moderne. Nacque in Francia il 31 Marzo 1596 e vi morì l’11 Febbraio 1650.
Impostazione della lezione e definizioni di base
La lezione inizia con la definizione del prodotto cartesiano tra due insiemi generici L e K che sono i fattori del prodotto stesso. La notazione con la quale si indica l’operazione è questa: L x K. Il nuovo insieme L x K contiene tutte le coppie ordinate (a,b) tali che l’elemento a appartenga a L e l’elemento b appartenga a K.
a e b sono rispettivamente la prima componente o coordinata e la seconda componente o coordinata del prodotto cartesiano.
Qui potete guardare utilmente la videolezione
Il concetto di prima e seconda componente o coordinata viene meglio esplicitato con un esercizio di calcolo del prodotto cartesiano tra i due insiemi L = {-7,3} e K = {8,-2,5} per i quali il prodotto è L x K = {(-7,8), (-7,-2), (-7,5), (3,8), (3,-2), (3,5)}.
Il Prodotto Cartesiano non gode della proprietà commutativa
Successivamente si dimostra con un semplice esempio che il prodotto cartesiano non gode della proprietà commutativa passando attraverso il concetto di coppia ordinata.
Infatti la coppia (a,b) è diversa dalla coppia (b,a) il che porta a concludere che L x K ≠ K x L dove K x L = {(8,-7), (8,3), (-2, -7), (-2,3), (5,-7), (5,3)}.
La questione viene meglio esplicitata riportando su un digramma cartesiano XY le due coppie numeriche (-7,8) e (8,-7).
La prima ricade nel secondo quadrante e la seconda nel quarto: sono due punti diversi.
La cardinalità del prodotto cartesiano
Grande importanza riveste la cardinalità del prodotto cartesiano. Essa può esser chiamata anche potenza oppure ordine dell’insieme.
Se l’insieme L contiene n elementi e l’insieme K contiene m elementi, allora l’insieme L x K conterrà n x m elementi. n x m è appunto l’ordine dell’insieme prodotto cartesiano, oppure cardinalità oppure potenza.
La cardinalità può essere indicata con tre diverse notazioni: #K, card(K), |K|. Quindi #K = n x m, card(K) = n x m , |K| = n x m.
Nell’ambito dei prodotti cartesiani rivestono particolare importanza quelli correlati con gli spazi percepibili come la retta, il piano cartesiano, lo spazio cartesiano.
Alla retta associamo l’insieme dei numeri reali ℝ sicché ciascuno degli infiniti punti della retta può essere rappresentato da uno degli infiniti numeri reali.
Al piano cartesiano corrisponde l’insieme ℝ 2 = ℝ × ℝ per cui a ciascun punto del piano possiamo associare una delle infinite coppie di numeri reali (x,y) appartenenti a ℝ 2 .
Alla stessa maniera allo spazio cartesiano, spazio 3D, associamo l’insieme ℝ 3 = ℝ × ℝ × ℝ per cui a ciascun punto dello spazio corrisponde una terna di numeri reali (x,y,z) appartenente a ℝ 3.
Seconda e terza parte della lezione in sintesi
Nella seconda parte della lezione vengono evidenziate le proprietà del prodotto cartesiano: non commutatività, cardinalità, insieme vuoto, proprietà distributiva rispetto all’intersezione, proprietà distributiva rispetto all’unione.
La parte finale della lezione è dedicata alle varie rappresentazioni grafiche: piano cartesiano, tabella a doppia entrata, diagramma di Venn, metodo sagittale, diagramma ad albero. Però a questo punto conviene seguire la videolezione.
La lezione precedente a questa è “Insiemi e strutture algebriche“
Buon studio.