Ciao, benvenuto/a o bentornato/a su StaticaFacile, questa lezione è dedicata alla Funicolare di un carico ripartito trapezio.
Praticamente è un esercizio.
Gli aspetti teorici relativi all’equazione differenziale della curva funicolare sono stati già trattati in ua lezione precedente che troverai qui
L’argomento può esserti utile se studi Ingegneria o Architettura, oppure se sei uno studente CAT (Costruzioni Ambiente e Territorio) alle superiori.
Ma veniamo al dunque, l’equazione del carico distribuito lineare di forma trapezia (crescente) è questa q(x)=(q2-q1).x/L+q1 (Figura 1).
L’abbiamo ricavata in questa lezione.
L’equazione differenziale generale della curva funicolare è f’’(x)=-q(x)/H (Figura 1).
Detto a parole la derivata seconda rispetto a x della funzione funicolare f(x) è pari al rapporto col segno meno tra la funzione di carico q(x) e la distanza polare H.
A questo punto vi anticipo la lezione, nel prosieguo troverete i dettagli della lezione.
Alcuni dettagli della lezione sulla funicolare di un carico ripartito trapezio
Il primo passo da fare è scrivere l’equazione differenziale di f(x) per la funzione di carico trapezia q(x)=(q2-q1).x/L+q1.
Quindi l’equazione differenziale si scriverà così f’’(x)=[(q1-q2).x /HL)]-q1/H. (Figura 2)
Da qui eseguiamo la prima integrazione ottenendo la derivata prima di f(x):
f’(x)= INTEGRALE[[(q1-q2).x /HL)]-q1/H]dx]. (Figura 3)
Passiamo quindi alla seconda integrazione ottenendo:
f(x)=INTEGRALE[INTEGRALE[[(q1-q2).x /HL)]-q1/H]dx]]dx. (Figura 3)
Da qui si applicano le regole degli integrali indefiniti pervenendo all’espressione di f(x) in funzione delle costanti di integrazione C1 e C2.
L’espressione è la seguente f(x)=(q1-q2)x^3)/6HL-q1x^2/2H+C1.x+C2. (Figura 3)
Non resta che calcolare le costanti d’integrazione C1 e C2.
Per farlo imponiamo che la funzione funicolare f(x) valga zero in x=0 e in x=L dove L è l’estensione del carico distribuito uniforme.
Se in x=0 abbiamo f(0)=0 si verificherà che C2=0. Analogamente ponendo f(L)=0 avremo C1=L(q2+2q1)/6H.
Il che ci permette di concludere che l’equazione della funicolare del carico distribuito lineare triangolare crescente è f(x)=[(q1-q2)x^3]/6HL-(q1x^2)/6H+L(q2+2q1)x/6H. (Figura 4)
Osserviamo che la funzione è del terzo ordine.
E’ ora opportuno fare una importante considerazione.
Se poniamo la distanza polare H pari a 1 l’equazione funicolare sarà
f(x)=[(q1-q2)x^3]/6L-(q1x^2)/6+L(q2+2q1)x/6. (Figura 4)
In più, ci interessa l’ascissa Xb alla quale la funzione esprime il suo valore massimo f(Xb)=fmax.
Come sapete dall’analisi matematica un punto di massimo può esistere dove la derivata della funzione è nulla.
Il che ci porta all’espressione della prima derivata e al suo annullamento.
Ne scaturisce un’equazione di secondo grado che, risolta, ci fornirà l’espressione di Xb.
Inserendo Xb nella funzione della funicolare otterremo il valore massimo f(Xb)=fmax.
Però adesso è meglio che tu segua la videolezione, vedrai che ti sarà utile.
Buon studio.