Benventuta/o su StaticaFacile, la lezione di oggi è dedicata al Baricentro di una spezzata, in particolare al calcolo delle sue coordinate baricentriche.
Considerato l’argomento, avrai già capito che la lezione si rivolge agli studenti di Ingegneria, di Architettura e anche dei corsi CAT (Costruzioni Ambiente Territorio) delle scuole superiori.
Ma veniamo al dunque, il calcolo delle coordinate baricentriche di una spezzata dipende dalla distribuzione della massa lungo la spezzata stessa.
Qui vi anticipo la videolezione, di seguito troverete i dettagli.
I dettagli della lezione sul Baricentro di una spezzata
Consideriamo un esempio concreto con una spezzata composta da 6 tratti che chiameremo a, b, c, d, e, f. (Figura 1)
Ciascun tratto di spezzata collega due vertici consecutivi, detti vertici sono V0, V1, V2, V3, V4, V5, V6.
Esaminiamo quindi due casi fondamentali:
Baricentro di una spezzata Caso 1: Densità di massa e sezione trasversale variabili
In questo primo caso la densità di massa mi e la sezione trasversale A variano lungo ogni tratto della spezzata. (Figura 2)
Quindi dobbiamo calcolare il baricentro di ciascun tratto di spezzata con un approccio integrale per ciascun tratto.
A questo proposito vi rimando alla precedente lezione Momenti statici di sistemi a massa continua lineari.
Nel caso in esame (Caso 1) le coordinate baricentriche di ciascun tratto di spezzata sono:
XGi=(1/Massai)INTEGRALE_da_0_a_Li[x(s).mi(s).A(s)ds]
YGi=(1/Massai)INTEGRALE_da_0_a_Li[y(s).mi(s).A(s)ds]
Dove x(s) e y(s) sono le coordinate di un punto sul tratto, parametrizzate rispetto alla lunghezza s che rappresenta la progressiva sull’asse dell’elemento di spezzata considerato.
L’elemento Massai (Mi) è la massa totale del tratto generico di spezzata.
Massai= INTEGRALEda0aLi[mi(s).A(s)ds]
Una volta calcolate le coordinate baricentriche XGi e YGi di ogni tratto, il baricentro totale della spezzata si ottiene come media pesata dei baricentri dei singoli tratti:
XG=SOMMATORIA_da_1_a_n[Massai.YGi]/ SOMMATORIA_da_1_a_n[Massai]
YG=SOMMATORIA_da_1_a_n[Massai.XGi]/ SOMMATORIA_da_1_a_n[Massai]
Questo approccio tiene conto delle variazioni locali della densità di massa e della sezione trasversale lungo ciascun tratto, permettendo un calcolo preciso del baricentro.
Baricentro di una spezzata Caso 2: Densità di massa e sezione trasversale costanti
Se la densità di massa mi e la sezione trasversale A sono costanti lungo tutta la spezzata, i calcoli diventano più semplici (figura 2).
In questo caso, il centro di massa di ciascun tratto si riduce al baricentro geometrico del tratto stesso. Perché il baricentro è posto sempre sugli assi di simmetria.
Per un tratto che collega i due vertici V(i−1)[X(i-1);Y(i-1)] e Vi[Xi;Yi] il baricentro geometrico è dato da: XGi=[X(i-1)+Xi]/2 YGi=[Y(i-1)+Yi]/2
La massa di ciascun tratto è semplicemente Mi=mi.A.Li
In questa formula Li è la lunghezza del tratto i-esimo, mi è la densità di massa costante sulla lunghezza della spezzata, A è la sezione costante lungo tutta la spezzata.
Il baricentro complessivo della spezzata si ottiene ancora come media pesata dei baricentri dei singoli tratti:
XG=SOMMATORIA_da_1_a_n[Li.YGi]/ SOMMATORIA_da_1_a_n[Li]
YG=SOMMATORIA_da_1_a_n[Li.XGi]/ SOMMATORIA_da_1_a_n[Li]
Come vedete, e come è dimostrato nella videolezione le coordinate baricentriche in questo secondo caso sono indipendenti dalla massa e dalla sezione e dipendono solo dalla geometria della spezzata.
Poiché densità e sezione sono costanti, le masse dei tratti dipendono solo dalle loro lunghezze. Questo caso è molto più semplice da calcolare, perché non richiede integrazioni complesse.
Conclusioni:
(1) Densità di massa e sezione variabili
Quando la densità e la sezione trasversale variano lungo ogni tratto, il calcolo del baricentro richiede integrazioni su ciascun tratto.
Questo metodo è preciso ma complesso, poiché tiene conto delle variazioni locali di massa lungo la spezzata.
(2) Densità di massa e sezione costanti
Nel caso di densità e sezione costanti, il calcolo del baricentro diventa più semplice.
Si riduce a trovare il baricentro geometrico di ogni tratto, e la massa di ciascun tratto dipende solo dalla sua lunghezza.
Questo approccio è meno complicato ma adeguato solo quando le proprietà della spezzata sono uniformi.
Questi due metodi evidenziano la differenza tra una modellazione precisa (variabile) e una semplificata (costante).