Questa lezione è dedicata ad alcuni cenni sugli insiemi e sulle strutture algebriche gruppi, anelli e campi.
La lezione si rende necessaria per “rinfrescare” un po’ di linguaggio algebrico e alcune definizioni importantissime per il prosieguo di questo corso.
Vi consiglio vivamente di seguirla perchè ci apprestiamo a studiare gli “spazi vettoriali” .
Questi ci permetteranno di dare una veste teorica più generale all’argomento in corso di trattazione che, come sapete, è “vettori e forze”.
I dettagli della lezione
La lezione inizia con una breve introduzione sui tre settori della matematica: l’algebra, la geometria, l’analisi.
Si danno inoltre dei cenni sul processo di unificante che sta interessando l’algebra lineare e la geometria euclidea.
E’ così che si arriva allo studio di oggetti algebrici più complessi come vettori e matrici.
La geometria e l’algebra lineare sono oggi così unite che facciamo fatica a distinguere quale argomento si di algebra lineare e quale di geometria.
Qui c’è la videolezione su insiemi e strutture algebriche.
Dopo l’introduzione la lezione prosegue con l’individuazione degli insiemi più noti.
L’insieme N dei numeri naturali, l’insieme Z dei numeri interi, l’insieme Q dei numeri razionali, l’insieme I dei numeri irrazionali e l’insieme R dei numeri reali.
Questi insiemi prendono il nome dai numeri ai quali si riferiscono, quindi N per naturali, Z per i numeri interi però detto in tedesco Zahl (numero), Q per i numeri “quozienti” o frazionari o razionali (dal latino ratio ovvero rapporto), I per irrazionali, R per reali.
Si passa poi alla definizione di sottoinsieme e alla citazione dei diagrammi di Venn.
La seconda parte della lezione riguarda le strutture algebriche gruppi, anelli e campi che si ottengono dotando gli insiemi di alcune operazioni matematiche come somma (+) o prodotto (x) e verificando il rispetto di alcuni assiomi come l’esistenza dell’elemento neutro, l’esistenza dell’elemento inverso, l’applicabilità della proprietà commutativa e associativa.
Viene quindi definito il concetto di gruppo commutativo.
Alla fine si dimostra che gli insiemi R e Q dotati delle operazioni somma e prodotto costituiscono dei campi, che l’insieme Z non è un campo ma è un anello e che l’insieme N non è un campo, non è un anello e non è un gruppo.
Riferimenti
Un’ottima fonte per approfondire i concetti in questione è il testo di “Geometria e algebra lineare” del Prof. Bruno Martelli.
Una spiegazione molto emozionante del Pi Greco si trova invece qui e vi consiglio di vederla perché è davvero bella.
Si tratta di una scena della serie “Person of Interest”, stagione 02, episodio 11 “Pi” A cosa serve conoscere il pi greco…. la risposta di Finch.
La lezione precedente a questa riguarda il prodotto vettoriale o prodotto esterno.
E con questo vi soluto e vi auguro come sempre BUON STUDIO.