Ciao, benvenuto/a o bentornato/a su StaticaFacile, questa lezione è dedicata alla Funicolare di un carico distribuito uniforme
Praticamente è un esercizio perché gli aspetti teorici relativi all’equazione differenziale della curva funicolare sono stati già trattati nella lezione precedente.
L’argomento può esserti utile se studi Ingegneria o Architettura, oppure se sei uno studente CAT (Costruzioni Ambiente e Territorio) alle superiori.
Ma veniamo al dunque, il punto di partenza è questo:
l’equazione del carico distribuito uniforme è q(x)=q (Figura 1) l’equazione differenziale generale della curva funicolare è f’’(x)=-q(x)/H (Figura 1).
Detto a parole la derivata seconda rispetto a x della funzione funicolare f(x) è pari al rapporto col segno meno tra la funzione di carico q(x) e la distanza polare H.
Da qui si sviluppa tutta la lezione che vi sottopongo subito.
I dettagli della lezione sulla funicolare del carico distribuito uniforme
Il primo passo da fare è scrivere l’equazione differenziale di f(x) per il carico costante, quindi l’espressione dell’equazione si scriverà così f’’(x)=-q/H (Figura 2)
Da qui eseguiamo la prima integrazione ottenendo la derivata prima di f(x):
f’(x)=INTEGRALE[(-q/H)dx] (Figura 2)
Passiamo quindi alla seconda integrazione ottenendo:
f(x)=INTEGRALE[INTEGRALE[(-q/H)dx]]dx
Da qui si applicano le regole degli integrali definiti pervenendo all’espressione di f(x) in funzione delle costanti di integrazione C1 e C2
L’espressione è la seguente f(x)=-(q.x^2)/2H+C1.x+C2 (Figura 2)
Calcolo delle costanti di integrazione
Non resta quindi che calcolare le costanti d’integrazione C1 e C2.
Per farlo imponiamo che la funzione funicolare f(x) valga zero in x=0 e in x=L dove L è l’estensione del carico distribuito uniforme. Se in x=0 abbiamo f(0)=0 si verificherà che C2=0.
Analogamente ponendo f(L)=0 avremo C1=qL/2H. (Figura 3)
Il che ci permette di concludere che l’equazione della funicolare del carico distribuito uniforme è la seguente
f(x)=(-q.x^2)/2H+q.L.x/2H. (Figura 3)
Operando gli opportuni passaggi avremo l’espressione definitiva
f(x)= (q/2H).(-x^2+L.x) (Figura 3)
Il che ci porta a concludere che la funzione è quella di una parabola ad asse verticale.
Considerazioni finali
In conclusione è opportuno fare una importante considerazione (Figura 4)
Se poniamo la distanza polare H pari a 1 l’equazione funicolare sarà f(x)= (q/2).(-x^2+L.x).
In più, ci interessa l’ascissa alla quale la funzione esprime il suo valore massimo.
Come sapete dall’analisi matematica un punto di massimo può essere dove la derivata della funzione è nulla.
Il che ci porta all’espressione della prima derivata e al suo annullamento.
L’espressione della derivata prima di f(x) è f’(x)=(q/2)(-2x+L)=-q.x+q.L/2.
Ponendola uguale a zero avremo 0=q.x+q.L/2 da cui x=L/2.
Quindi in corrispondenza di x=L/2 avremo il massimo valore di f(x).
Passando al calcolo avremo fmax=(q.L^2)/8.
Ebbene, questo valore è importantissimo e lo ritroverete molto spesso nel prosieguo degli studi, quindi non dimenticatelo.
Però adesso è meglio che tu segua la videolezione, vedrai che ti sarà utile.
Buon studio.