Ciao, benvenuto/a o bentornato/a su StaticaFacile, questa lezione è dedicata alla Funicolare di un carico triangolare crescente.
Per la verità sarebbe più correto titolare così: La curva funicolare di un carico distribuito lineare di forma lineare crescente.
Praticamente ciò che propongo è un esercizio, dal momento che gli aspetti teorici relativi all’equazione differenziale della curva funicolare sono stati già trattati in una delle lezione precedenti.
L’argomento può esserti utile se studi Ingegneria o Architettura, oppure se sei uno studente CAT (Costruzioni Ambiente e Territorio) alle superiori.
Ma veniamo al dunque, l’equazione del carico distribuito uniforme è q(x)=q.x/L, l’equazione differenziale generale della curva funicolare è f’’(x)=-q(x)/H.
Detto a parole la derivata seconda rispetto a x della funzione funicolare f(x) è pari al rapporto col segno meno tra la funzione di carico q(x) e la distanza polare H.
Qui di seguito trovi subito la videolezione, subito dopo troverali le considerazioni di merito.
I dettagli sulla funicolare di un carico triangolare crescente
Il primo passo da fare è scrivere l’equazione differenziale di f(x) per il carico q(x)=q.x/L, quindi l’espressione dell’equazione si scriverà così f’’(x)=-(q.x)/(L.H).
Da qui eseguiamo la prima integrazione ottenendo la derivata prima di f(x):
f’(x)=INTEGRALE[(-q.x/L.H)dx] (Figura 2)
Passiamo quindi alla seconda integrazione ottenendo:
f(x)=INTEGRALE[INTEGRALE[(-q.x/L.H)dx]]dx (Figura 2)
Da qui si applicano le regole degli integrali definiti pervenendo all’espressione di f(x) in funzione delle costanti di integrazione C1 e C2 che è la seguente:
f(x)=-(q.x^3)/(6.L.H)+C1.x+C2
Non resta quindi che calcolare le costanti d’integrazione C1 e C2.
Per farlo imponiamo che la funzione funicolare f(x) valga zero in x=0 e in x=L dove L è l’estensione del carico distribuito uniforme.
Quindi, se in x=0 abbiamo f(0)=0 si verificherà che C2=0. (Figura 2)
Analogamente ponendo f(L)=0 avremo C1=qL/6H.
Il che ci permette di concludere che la funicolare di un carico triangolare crescente è la seguente: f(x)=(-q.x^3)/(6.L.H)+q.L.x/6H. (Figura 2)
Operando gli opportuni passaggi avremo l’espressione definitiva f(x)= (q/6LH).(-x^3+L^2.x)
E’ evidente che la funzione f(x) è del terzo ordine.
Alcune importanti considerazioni
Adesso è opportuno fare alcune importanti considerazione.
Se poniamo la distanza polare H pari a 1 l’equazione funicolare sarà f(x)= (q/6L).(-x^3+L^2.x)
In più ci interessa l’ascissa alla quale la funzione esprime il suo valore massimo.
Come sapete dall’analisi matematica un punto di massimo può esistere dove la prima derivata della funzione è nulla.
Il che ci porta all’espressione della prima derivata e al suo annullamento.
L’espressione della derivata prima di f(x) è f’(x)=(q/6L)(-3x^2+L^2)
Ponendola uguale a zero avremo (q/6L)(-3x^2+L^2)=0 da cui x=L/3^0,5
Quindi in corrispondenza di x=L/3^0,5 avremo il massimo valore di f(x).
Passando al calcolo avremo fmax=(q.L^2)/9.3^0,5 (Figura 3)
Però adesso è meglio che tu segua la videolezione, vedrai che ti sarà utile.
Buon studio.