Funicolare di un carico parabolico

Ciao, benvenuto/a o bentornato/a su StaticaFacile, questa lezione è dedicata alla Funicolare di un carico distribuito parabolico.

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Figura 1

Praticamente è un esercizio.

Gli aspetti teorici relativi all’equazione differenziale della curva funicolare sono stati già trattati nelle lezioni precedenti

L’argomento può esserti utile se studi Ingegneria o Architettura, oppure se sei uno studente CAT (Costruzioni Ambiente e Territorio) alle superiori.

Ma veniamo al dunque.

In premessa dico che in questo caso l’esercizio è di tipo numerico allo scopo di evitare passaggi matematici formali troppo impegnativi.

Allora, l’equazione del carico distribuito parabolico è questa q(x)=-0,2475x^2+1,35x+25,20. (Figura 1)

L’abbiamo ricavata in una lezione precedente.

L’estensione del carico distribuito parabolico è 8 metri.

L’equazione differenziale generale della curva funicolare è f’’(x)=-q(x)/H. (Figura 1)

Detto a parole la derivata seconda rispetto a x della funzione funicolare f(x) è pari al rapporto col segno meno tra la funzione di carico q(x) e la distanza polare H.

Qui vi anticipo la videolezione, nel seguito troverete i dettagli dell’esercitazione.

Alcuni dettagli sull’esercitazione Funicolare di un carico distribuito parabolico

Poniamo preliminarmente la distanza polare H=1.

Il primo passo da fare è scrivere l’equazione differenziale di f(x) per il carico q(x)=-0,2475x^2+1,35x+25,20.

Quindi l’equazione differenziale si scriverà così f’’(x)=+0,2475x^2-1,35x-25,20. (Figura 1)

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Figura 2

Da qui eseguiamo la prima integrazione ottenendo la derivata prima di f(x), (Figura 2)

f’(x)= 0,0825x^3-0,675x^2-25,20x+C1

C1 è la prima costante di integrazione.

Passiamo quindi alla seconda integrazione ottenendo la funzione funicolare

f(x)=0,020625x^4-0,225x^3-12,60x^2+C1x+C2

Con C2 seconda costante di integrazione.

Quindi si passa al calcolo delle costanti d’integrazione C1 e C2.

Per farlo imponiamo che la funzione funicolare f(x) valga zero in x=0 e in x=L dove L è l’estensione del carico distribuito parabolico.

Se in x=0 abbiamo f(0)=0 si verificherà che C2=0.

Analogamente ponendo f(8)=0 avremo C1=104,64.

Il che ci permette di concludere che l’equazione della funicolare del carico distribuito lineare triangolare crescente è f(x)=0,020625x^4-0,225x^3-12,60x^2+104,64x.

Osserviamo che la funzione è del quarto ordine.

Ora ci interessa l’ascissa Xb alla quale la funzione esprime il suo valore massimo f(Xb)=fmax.

Come sapete dall’analisi matematica un punto di massimo può esistere dove la derivata della funzione è nulla.

Il che ci porta all’espressione della prima derivata e al suo annullamento

0,0825x^3-0,675x^2-25,20x+104,64=0

Dovremmo perseguire la soluzione di una equazione di terzo grado ma preferiamo utilizzare un metodo iterativo per tentativi servendoci di un foglio elettronico.

Alla fine avremo Xb=3,937 ed f(Xb)=fmax=207,895.

Però adesso è meglio che tu segua la videolezione, vedrai che ti sarà utile.

Buon studio.

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