Ciao, benvenuto/a o bentornato/a su StaticaFacile, questa lezione è dedicata alla Funicolare di un carico distribuito parabolico.

Praticamente è un esercizio.
Gli aspetti teorici relativi all’equazione differenziale della curva funicolare sono stati già trattati nelle lezioni precedenti.
L’argomento può esserti utile se studi Ingegneria o Architettura, oppure se sei uno studente CAT (Costruzioni Ambiente e Territorio) alle superiori.
Ma veniamo al dunque.
In premessa dico che in questo caso l’esercizio è di tipo numerico allo scopo di evitare passaggi matematici formali troppo impegnativi.
Allora, l’equazione del carico distribuito parabolico è questa q(x)=-0,2475x^2+1,35x+25,20. (Figura 1)
L’abbiamo ricavata in una lezione precedente.
L’estensione del carico distribuito parabolico è 8 metri.
L’equazione differenziale generale della curva funicolare è f’’(x)=-q(x)/H. (Figura 1)
Detto a parole la derivata seconda rispetto a x della funzione funicolare f(x) è pari al rapporto col segno meno tra la funzione di carico q(x) e la distanza polare H.
Qui vi anticipo la videolezione, nel seguito troverete i dettagli dell’esercitazione.
Alcuni dettagli sull’esercitazione Funicolare di un carico distribuito parabolico
Poniamo preliminarmente la distanza polare H=1.
Il primo passo da fare è scrivere l’equazione differenziale di f(x) per il carico q(x)=-0,2475x^2+1,35x+25,20.
Quindi l’equazione differenziale si scriverà così f’’(x)=+0,2475x^2-1,35x-25,20. (Figura 1)

Da qui eseguiamo la prima integrazione ottenendo la derivata prima di f(x), (Figura 2)
f’(x)= 0,0825x^3-0,675x^2-25,20x+C1
C1 è la prima costante di integrazione.
Passiamo quindi alla seconda integrazione ottenendo la funzione funicolare
f(x)=0,020625x^4-0,225x^3-12,60x^2+C1x+C2
Con C2 seconda costante di integrazione.
Quindi si passa al calcolo delle costanti d’integrazione C1 e C2.
Per farlo imponiamo che la funzione funicolare f(x) valga zero in x=0 e in x=L dove L è l’estensione del carico distribuito parabolico.
Se in x=0 abbiamo f(0)=0 si verificherà che C2=0.
Analogamente ponendo f(8)=0 avremo C1=104,64.
Il che ci permette di concludere che l’equazione della funicolare del carico distribuito lineare triangolare crescente è f(x)=0,020625x^4-0,225x^3-12,60x^2+104,64x.
Osserviamo che la funzione è del quarto ordine.
Ora ci interessa l’ascissa Xb alla quale la funzione esprime il suo valore massimo f(Xb)=fmax.
Come sapete dall’analisi matematica un punto di massimo può esistere dove la derivata della funzione è nulla.
Il che ci porta all’espressione della prima derivata e al suo annullamento
0,0825x^3-0,675x^2-25,20x+104,64=0
Dovremmo perseguire la soluzione di una equazione di terzo grado ma preferiamo utilizzare un metodo iterativo per tentativi servendoci di un foglio elettronico.
Alla fine avremo Xb=3,937 ed f(Xb)=fmax=207,895.
Però adesso è meglio che tu segua la videolezione, vedrai che ti sarà utile.
Buon studio.