Benventuta/o su StaticaFacile, la lezione di oggi è dedicata ai Baricentri di sistemi piani a massa continua
E allora, considerato l’argomento, avrai già capito che la lezione si rivolge agli studenti di Ingegneria, di Architettura e anche, volendo, dei corsi CAT (Costruzioni Ambiente Territorio) delle scuole superiori.
Quindi, il calcolo delle coordinate baricentriche di un sistema continuo con densità di massa areale variabile consiste nel determinare il punto in cui si può considerare concentrata l’intera massa del sistema.
Tale punto è il baricentro. Le coordinate baricentriche Xg e Yg sono calcolate usando i momenti statici rispetto agli assi x e y.
Inoltre, è anche necessario calcolare la massa totale del sistema.
E qui ti anticipo la videolezione. Nel seguito troverai le considerazioni di dettaglio.
Definizione delle coordinate baricentriche per il calcolo di baricentri di sistemi piani a massa continua
Le coordinate del baricentro sono date dalle formule: Xg=Sy/Ma Yg=Sx/Ma
In queste formule (Figura 1) riconosciamo che:
Sx=INTEGRALE(esteso ad A)[ro(x,y).y.dA] è il momento statico del sistema rispetto all’asse x
Sy=INTEGRALE(esteso ad A)[ro(x,y).x.dA] è il momento statico del sistema rispetto all’asse y
Ma=INTEGRALE(esteso ad A)[ro(x,y).dA] è la massa totale del sistema
ro(x,y) è la densità di massa areale
A è l’area su cui è distribuita la massa
Gli integrali di cui sopra sono calcolati sull’area A occupata dal sistema.
La procedura di calcolo delle coordinate di baricentri di sistemi piani a massa continua
1. Definizione di ro(x,y) – Questo passaggio serve per specificare come la densità di massa areale varia con x e y.
2. Definizione dei limiti di integrazione per l’area su cui è distribuita la massa.
3. Calcolo di Ma , Sx ed Sy applicando il calcolo integrale con le regole degli integrali doppi definiti.
4. Calcolo di Xg e Yg Applicando le formule per le coordinate baricentriche: Xg=Sy/Ma Yg=Sx/Ma
Esempio pratico
Nella lezione viene proposto l’esempio di una Piastra in Calcestruzzo Armato di misura in pianta 4×3 metri (Figura 2).
Il lato lungo è orientato come x. Il lato corto è orientato come y.
Lo spessore della piastra varia solo lungo y da 0,20 metri a 0,35 metri.
La densità superficiale della piastra varia linearmente con la coordinata y ed è data dalla funzione ro(x,y)=500+125y
I due momenti statici che cerchiamo sono descritti dalle due espressioni generali evidenziate sopra:
Sx=INTEGRALE(esteso ad A)[ro(x,y).y.dA] Sy=INTEGRALE(esteso ad A)[ro(x,y).x.dA]
In queste due relazioni inseriamo l’espressione di ro(x,y) ottenendo
Sx=INTEGRALE(esteso ad A)[(500+125y).y.dA]
Sy=INTEGRALE(esteso ad A)[(500+125y).x.dA]
Alla stessa maniera calcoleremo la massa totale del sistema Ma
Ma=INTEGRALE(esteso ad A)[ro(x,y).dA] Ma=INTEGRALE(esteso ad A)[(500+125y).dA]
Il calcolo integrale, che potrete seguire nella videolezione, ci porterà a questi risultati Sx=13500 kg.m, Sy=16500 kg.m,Ma=8250 kg
Dall’applicazione delle formule delle coordinate baricentriche Xg=Sy/Ma e Yg=Sx/Ma otterremo Xg=2,00 m e Yg=1,636 m
La lezione termina considerando il caso di massa areale (o densità superficiale) costante per l’intera piastra. Ebbene tale ipotesi ci porta alla definizione del momento statico relativo ad una superficie.
Ma adesso ti consiglio di seguire la videolezione. Buon studio.