Baricentri di sezioni a C

Ciao, benvenuta/o su StaticaFacile, questa lezione esercitazione è dedicata ai Baricentri di sezioni a C.

Considerato l’argomento, la lezione si rivolge agli studenti di Ingegneria, di Architettura e anche dei corsi CAT (Costruzioni Ambiente Territorio) delle scuole superiori.

Il calcolo delle coordinate baricentriche X_G e Y_G di una sezione a C è un’operazione fondamentale nell’analisi strutturale per determinare il baricentro, o centro di massa, della sezione.

Esaminiamo prima il caso generale di una sezione a C senza assi di simmetria e poi il caso particolare con asse di simmetria orizzontale.

Ti anticipo qui la videolezione, nel seguito troverai alcuni dettagli.

Caso Generale: Baricentri di sezioni a C senza assi di simmetria

In una sezione a C generica, non è detto che ci siano assi di simmetria, quindi il baricentro si trova in una posizione non immediatamente evidente.

La sezione a C è composta da tre rettangoli: l’anima (il segmento verticale), l’ala superiore (orizzontale) e l’ala inferiore (orizzontale) (Figura 1).

Per calcolare le coordinate baricentriche X_G e Y_G si utilizzano le formule basate su una media pesata delle coordinate dei baricentri delle singole parti che compongono la sezione.

Le formule sono: X_G=S_y/A_tot e Y_G=S_x/A_tot

Dove: S_y è il momento statico della sezione rispetto all’asse y, S_x è il momento statico della sezione rispetto all’asse x, A_tot è l’area totale della sezione.

Le stesse formule possono essere scritte in termini di integrali:

X_G=∫(x.dA)/∫(dA) e Y_G= ∫(y.dA)/∫(dA)

Nello specifico converrà usare le formule discretizzate in termini di sommatoria:

X_G=∑(x_i.A_i)/∑(A_i) e Y_G= ∑(y_i.A_i)/∑(A_i)

Le sommatorie si estendono da 1 a n in funzione del numero di rettangoli (o altre figure semplici) nelle quali è possibile suddividere la sezione.

Nel caso in esame i rettangoli saranno tre. Le specifiche di ciascun rettangolo sono le seguenti:

b_i base del retangolo i-esimo, h_i altezza del retangolo i-esimo, A_i area del retangolo i-esimo, x_i coordinata x del baricentro del rettangolo i-esimo, y_i coordinata y del baricentro del rettangolo i-esimo.

La procedura di calcolo

E allora per eseguire i calcoli adottiamo questa procedura:

(1) Si divide la sezione a C in tre rettangoli (anima A₁ ala inferiore A₂ ala superiore A₃) e si calcolano le rispettive aree A₁, A₂ e A_3.

(2) Si individuano le coordinate baricentriche di ciascun rettangolo rispetto all’origine x_i e y_i

(3) Si applicano le formule sopra citate per ottenere X_G e Y_G.

In questo caso, dato che la sezione non ha simmetria, il baricentro può trovarsi spostato rispetto a entrambi gli assi e non giace necessariamente sull’anima.

Ma troverete tutti i dettagli sulla videolezione proposta sopra.

Caso Particolare: Baricentri di sezioni a C con asse di simmetria orizzontale

Quando la sezione C ha un asse di simmetria orizontale, il calcolo di Y_G è semplificato.

Per definizione di simmetria, il baricentro giace sull’asse di simmetria orizzontale.

A questo punto basta fissare l’origine degli assi e leggere l’ascissa y dell’asse di simmetria rispetto all’origine.

Rimane da calcolare solo X_G, che rappresenta l’ascissa del baricentro rispetto all’origine del sistema di riferimento. In questo caso si applicano le stesse formule di prima ma limitate a X_G:

X_G=S_y/A_tot X_G=∫(x.dA)/∫(dA) X_G=∑(x_i.A_i)/∑(A_i)

In conclusione, nel caso simmetrico, il baricentro si trova lungo l’asse di simmetria orizzontale, mentre la sua ascissa X_G dipende dalla posizione relativa di ali e anima.

Ma adesso ti consiglio di seguire con calma la videolezione, ti sarà utile.

Pubblicità