Ciao, benvenuta/o su StaticaFacile, questa lezione/esercitazione è dedicata al Momento d’Inerzia della Sfera: Calcolo Integrale.
L’argomento potrebbe essere utile agli studenti di Ingegneria o di Architettura.
Infatti, lo studio delle inerzie, nell’ambito della geometria delle masse, ha una notevole importanza.
Qui ti anticipo la videolezione che ti esorto a seguire con calma. Nel sguito troverai alcuni dettagli.
Momento d’Inerzia della Sfera: Calcolo Integrale. Cos’è il Momento d’Inerzia
Il momento d’inerzia rappresenta la resistenza che un corpo oppone quando viene messo in rotazione attorno a un asse.
Nel moto di traslazione, l’inerzia è determinata unicamente dalla massa totale del corpo.
Nel moto rotatorio, invece, la massa deve essere pesata in base alla sua distribuzione nello spazio rispetto all’asse scelto.
In questo sviluppo è stato scelto l’asse Z.
Il momento d’inerzia Iz della massa della sfera rispetto all’asse Z si definisce e si determina essenzialmente mediante il calcolo integrale sulla massa stessa:
Iz = ∫v Lz2∙ρ∙dv
Con: V Volume della sfera, dv Elemento di volume infinitesimo, Lz Distanza di dv dall’asse z perpendicolare all’asse stesso, ρ Densità di massa.
Trattandosi di una grandezza fisica fondamentale, comprendere questa grandezza permette di analizzare la dinamica di qualsiasi oggetto in rotazione.
Momento d’Inerzia della Sfera: Calcolo Integrale. Simmetria Sferica e Assi Principali
Una sfera omogenea possiede una simmetria geometrica perfetta in ogni direzione dello spazio.
Di conseguenza, il momento d’inerzia calcolato rispetto a un qualsiasi asse passante per il suo centro ha esattamente lo stesso valore.
Questa proprietà rende tutti gli assi baricentrali assi principali d’inerzia e azzera i prodotti d’inerzia, noti anche come momenti centrifughi:
Ixy = Iyx = Ixz = Izx = Iyz = Izy = 0
Il tensore d’inerzia della sfera rispetto al centro è quindi una matrice diagonale pura con valori principali identici
Ixx = Iyy = I zz
Calcolo Integrale della Formula Canonica
Per ricavare la formula classica attraverso l’integrazione diretta in coordinate sferiche, si esprime l’elemento infinitesimo di volume come qui di seguito:
dV=db.[bsen(α)dβ].(bdα)
Inoltre, la distanza dell’elemento infinitesimo dv dall’asse può essere scritta così:
Lz2=b2sen2(α)
Le grandezze in gioco sono le seguenti:
Lz Distanza di dv dall’asse z perpendicolare all’asse stesso
b Distanza di dv dal baricentro della sfera diretta come il raggio della sfera B
db Elemento infinitesimo della distanza b
α Angolo di Colatitudine o Angolo Polare compreso tra 0° e 180°
dα Variazione infinitesima dell’angolo di colatitudine alfa
β Angolo di azimuth o longitudine compreso tra 0° e 360°
dβ Variazione infinitesima dell’angolo di azimuth beta
Quindi andremo ad esprimere Iz in questo modo:
Iz = ρ ∫v b4sen(α)3dbdβdα
Dalla risoluzione di questo integrale, che troverai nella videolezione, si arriva all’espressione finale del momento d’inerzia baricentrico della sfera rispetto a qualsiasi asse:
I = (2/5).M.B2
M: Massa della sfera, B: Raggio della sfera
Applicazione Pratica: Biglia con Raggio 1 cm
Ipotizziamo ora di voler applicare i risultati del calcolo integrale a una vera e propria biglia d’acciaio con un raggio R = 1 cm.
Assumiamo per l’acciaio una densità standard pari a ρ=7.85 g/cm3.
Possiamo prima determinare il volume totale V=(4/3).π.R3.
Poi, moltiplicando il volume per la densità otteniamo la massa M=32.88 g.
Inserendo questi valori nella formula integrata, il calcolo numerico ci restituisce il momento d’inerzia I = (2/5).12.32,88 = 13,15 g.cm2
Il tensore d’inerzia d’inerzia risultante presenterà quindi il valore 13,15 lungo la diagonale principale e zero altrove.