Baricentro di un segmento parabolico

Ciao, benvenuta/o su StaticaFacile, questa lezione è dedicata al calcolo del baricentro di un segmento parabolico.

Considerato l’argomento, la lezione si rivolge agli studenti di Ingegneria, di Architettura e anche dei corsi CAT (Costruzioni Ambiente Territorio) delle scuole superiori.

Il calcolo delle coordinate del baricentro di un segmento parabolico è un concetto fondamentale in geometria analitica.

Inoltre risulta utile come esercizio non solo nel settore della statica ma anche nel campo di applicazione degli integrali.

E allora questo calcolo viene qui eseguito utilizzando appunto gli integrali.

E’ nota la geometria della parabola caratterizzata dai punti O, A, B, C, (Figura 1).

In particolare la base del segmento parabolico (AC) b è pari a 8,165 m, l’altezza del segmento parabolico (OB) vale invece 10 m.

L’origine del sistema di riferimento è nel punto O rispetto al quale il punto A evidenzia coordinate (-4,0825;0,00), il punto C è alle coordinate (-4,0825;0,00).

L’equazione della parabola assegnata, rispetto al sistema di riferimento XY, è y=-0,6x²+10.

Qui vi anticipo la videolezione. Nel seguito troverete alcuni dettagli.

Le formule utilizzate per il calcolo del baricentro di un segmento parabolico.

Per calcolare le coordinate del baricentro X_G e Y_G del segmento parabolico si utilizzano le formule classiche già studiate nelle precedenti lezioni:

X_G=S_y/A_tot e Y_G=S_x/A_tot

S_y è il momento statico del segmento parabolico rispetto all’asse y ed S_x è il momento statico del segmento parabolico rispetto all’asse x.

A_tot è l’area del segmento parabolico esprimibile con la nota formula A_tot=∫dA

Le formule scritte in termini di integrali sono le seguenti:

X_G=∫x.dA/∫dA e Y_G= ∫y.dA/∫dA

Chiariamo subito che X_G sarà pari a zero (X_G=0,00) poiché Y è un asse di simmetria e quindi il baricentro sta certamente su di esso.

E allora ci concentreremo soltanto sul calcolo di Y_G=S_x/A_tot

Definizione della funzione y(x) e del suo dominio

Ovviamente l’equazione del segmento parabolico è quella della parabola y(x)=-0,6x²+10.

La variabile x va da -4,0825 a +4,0825, la variabile y è invece sempre compresa tra 0 e y(x)=-0,6x²+10. E allora la funzione da integrare y(x) sarà la seguente:

Per x compreso tra -4,0825 e +4,0825 y(x)=-0,6x²+10

Definita la funzione y(x) passiamo alle varie integrazioni.

Calcolo dell’area del segmento parabolico

La formula che intendiamo utilizzare è questa A_tot=∫dA

Ovviamente si tratta di una doppia integrazione tenendo conto che dA=dxdy.

Quindi procederemo all’integrazione in dy da 0 a y(x)=-0,6x²+10 e dopo all’integrazione in dx da -4,0825 a 0 e poi da 0 a +4,0825 (Figura 2).

Per l’integrazione in dx avremo cura di suddividere dei due tratti da x=-4,0825 a x=0, da x=00 a x=+4,0825. Troverete tutti i dettagli nella videolezione e il risultato sarà A_tot=54,43 m².

Calcolo del Momento Statico S_x rispetto all’asse x

La formula che intendiamo utilizzare è questa S_x=∫ydA

Anche in questo caso avremo una doppia integrazione così espressa S_x=∫ydydx

Avremo quindi l’integrale da 0 a y(x)=-0,6x²+10 di y in dy come integrale più interno.

Successivamente avremo l’integrale più esterno in dx con x compreso tra -4,0825 e 0 e poi tra 0 e +4,0825.

Il che ci porterà alla conclusione che il momento statico del segmento parabolico rispetto all’asse x sarà S_x=217,742 m³. I dettagli sono esposti nella videolezione.