Ciao, benvenuta/o su StaticaFacile, questa lezione è dedicata al Baricentro del trapezio.
Considerato l’argomento, la lezione si rivolge agli studenti di Ingegneria, di Architettura e anche dei corsi CAT (Costruzioni Ambiente Territorio) delle scuole superiori.
Il calcolo delle coordinate baricentriche di un trapezio è un concetto fondamentale in geometria analitica.
Questo calcolo viene qui perseguito attraverso tre metodi:
(1) Metodo della suddivisione in due triangoli e un rettangolo
(2) Metodo della suddivisione i due triangoli
(3) Metodo grafico.
Questi metodi prevedono calcoli geometrici e l’uso di alcuni teoremi.
E’ nota la geometria del trapezio avvero la base maggiore B, la base minore b, l’altezza h.
Inoltre sono note la base a della parte triangolare a sx della base maggiore e la base c della parte triangolare a dx della base maggiore, i lati e gli angolo interni (Figura 1).
Nella lezione si esaminano i casi del trapezio qualunque, del trapezio rettangolo con angolo retto a sx, del trapezio rettangolo con angolo retto a dx.
Qui vi anticipo la videolezione. Nel seguito troverete alcuni dettagli.
Baricentro del trapezio qualsiasi
Il trapezio avrà vertici O, E, F e D letti in senso orario con origine del sistema di riferimento x y in O (Figura 2).
Questo trapezio “qualsiasi” presenta le misure a e c diverse da zero.
Va sottolineato che la base maggiore B è data dalla somma di a, b e c. B=a+b+c.
Più in dettaglio i vertici avranno le seguenti coordinate O(0;0) E(a;h) F(a+b;h) D(a+b+c;h).
Metodo della suddivisione in 3 figure più semplici
Il trapezio può essere diviso in tre figure semplici:
Un triangolo rettangolo di base a sulla sx, un rettangolo di base b al centro, un secondo triangolo rettangolo di base c sulla dx.
Per calcolare le coordinate baricentriche XG e YG si utilizzano le formule basate su una media pesata delle coordinate dei baricentri delle singole parti che compongono la sezione.
Le formule da utilizzare sono:
XG=Sy/Atot YG=Sx/Atot
dove:
Sy è il momento statico delle varie figure rispetto all’asse y
Sx è il momento statico delle varie figure rispetto all’asse x
Atot è l’area totale del trapezio esprimibile con la nota formula Atot=(B+b)h/2
Le formule da usare
Le stesse formule possono essere scritte in termini di integrali:
XG=∫(x.dA)/∫(dA) YG=∫(y.dA)/∫(dA)
Nello specifico converrà usare le formule discretizzate in termini di sommatoria:
XG=∑(xi.Ai)/∑(Ai) YG=∑(yi.Ai)/∑(Ai)
Le sommatorie si estendono da 1 a n in funzione del numero di figure semplici nelle quali è possibile suddividere la figura principale ovvero il trapezio.
Nel caso in esame abbiamo tre figure, due triangoli e un rettangolo (Figura 1).
Le specifiche di ciascuna figura sono le seguenti:
bi base della figura i-esima, hi altezza della figura i-esima, Ai area della figura i-esima, xi coordinata x del baricentro della figura i-esima, yi coordinata y del baricentro della figura i-esima.
La procedura di calcolo
E allora per eseguire i calcoli adottiamo questa procedura:
(1) Si divide la il trapezio nelle trefigure componenti già citate con aree A1, A2 e A3
(2) Si individuano le coordinate baricentriche di ciascun rettangolo rispetto all’origine xi e yi
(3) Si applicano le formule sopra citate per ottenere XG e YG.
Alla fine della procedura si troveranno i seguenti valori (Figura 3):
XG=(2a^2+3b^2+c^2+6ab+3ac+3bc)/3(B+b)
YG=h(B+2b)/3(B+b)
Troverete tutti i dettagli sulla videolezione qui proposta.
Potrebbero esservi utili le lezioni precedenti sui Baricentri di Figure Semplici e Sezioni a Doppio T.
Il caso particolare dei trapezi rettangoli
La metodologia del calcolo è esattamente uguale a prima con la differenza che le figure più semplici sono due: un triangolo e un rettangolo.
Avremo due casi, il primo con l’angolo retto a sx, il secondo con l’angolo retto a dx (Figura 4).
Caso con angolo retto a sx
XG=(3b^2+c^2+3bc)/3(B+b) YG=h(B+2b)/3(B+b)
Caso con angolo retto a dx
XG=(2a^2+3b^2+6ab)/3(B+b) YG=h(B+2b)/3(B+b)
Come potete osservare la formula di YG non cambia.
Baricentro del trapezio qualsiasi. Metodo della suddivisione in due triangoli
La metodologia del calcolo è esattamente uguale a prima con la differenza che le figure più semplici sono due triangoli (Figura 5).
In questo caso le formule sono scritte in relazione alle mediane ed agli angoli dei due triangoli in questione.
XG=(2Btbcos(ε)+3ba+2Btacos(α))/3(B+b)
YG=h(B+2b)/3(B+b)
Potrebbe esservi utile un ripasso della lezione sul calcolo delle coordinate baricentriche dei triangoli.
Baricentro del trapezio metodo grafico
Si tratta di una semplice costruzione grafica.
Essa consiste nel tracciare inizialmente la mediana del trapezio (un segmento che va dalla metà della base maggiore alla metà della base minore).
Successivamente si riporta alla sx della base maggiore un segmento pari alla base minore e si riporta alla dx della base minore un segmento pari alla base maggiore.
Si congiungono poi le estremità di questi due segmenti andando a intersecare la mediana già tracciata.
Il baricentro del trapezio si trova nel punto di intersezione. Nella videolezione viene eseguita anche dimostrazione della costruzione grafica.
Ma adesso ti consiglio di seguire con calma la videolezione, ti sarà utile.