Benventuta/o su StaticaFacile, la lezione di oggi è dedicata ai Momenti statici masse continue piane.
Avrei dovuto usare quet’altro titolo: Momenti statici di sistemi piani a massa continua. Oppure Momenti statici di sistemi a massa areale continua.
Ma la procedura del sito mi consiglia un massimo di cinque parole e quindi il titolo è quello che vedete.
E allora, considerato l’argomento, avrai già capito che la lezione si rivolge agli studenti di Ingegneria, di Architettura e anche, volendo, dei corsi CAT (Costruzioni Ambiente Territorio) delle scuole superiori.
Qui ti anticipo la videolezione. Nel seguito troverai spiegati alcuni dettagli.
Premesse e definizioni della lezione momenti statici masse continue piane
Per calcolare i momenti statici Sx e Sy di un sistema con una distribuzione di massa areale continua variabile è necessario considerare la distribuzione della massa su una superficie e come essa sia distribuita rispetto agli assi di riferimento.
I momenti statici servono a valutare quanto la massa sia distribuita lontano dagli assi di riferimento e sono fondamentali per il calcolo del baricentro del sistema.
Cominciamo dalle definizioni:
Massa areale: In un sistema con massa distribuita su una superficie, si parla di massa areale variabile.
Questa viene indicata con ro(x,y) e rappresenta la densità superficiale in funzione delle coordinate x e y.
Assi di riferimento: Sono generalmente scelti due assi ortogonali, x e y, rispetto ai quali vengono calcolati i momenti statici.
Questi assi possono essere i bordi del sistema o possono essere scelti rispetto a un punto di interesse particolare.
Calcolo di momenti statici di masse continue piane
Per quanto riguarda il calcolo del momento statico Sx si parte dal momento statico elementare dSx che, come da definizione di momento statico, è dato dal prodotto ro(x,y).y.dA
In questa relazione dA è l’area elementare infinitesima, ro(x,y) è la densità di massa superficiale in funzione delle coordinate x e y, y è la distanza rispetto all’asse x dell’areola elementare dA.
Il momento statico rispetto all’asse x della massa associata all’areola dA è dato dall’integrale esteso a tutta la superficie A di ro(x,y).y.dA
Possiamo scrivere così Sx=INTEGRALE(esteso ad A)[ro(x,y).y.dA].
In maniera del tutto analoga scriviamo la formula del momento statico rispetto a all’asse y
Sy=INTEGRALE(esteso ad A)[ro(x,y).x.dA]
Risulta evidente che in questa relazione l’unica cosa che cambia rispetto alla formula precedente è la coordinata dell’areola dA rispetto all’asse di riferimento y, tale coordinata è ovviamente x anziché y.
Descrizione della procedura di calcolo
Eccovi di seguito la descrizione della procedura di calcolo.
La prima operazione da fare è la definizione della funzione di densità di massa areale ro(x,y) che, come detto sopra, descrive come varia la massa in ogni punto della superficie.
Successivamente vanno definiti i limiti di integrazione che dipendono dall’area A in cui è distribuita la massa.
Immaginiamo che l’area sia un rettangolo e che il sistema di riferimento abbia origine nel vertice in basso a sinistra.
Consideriamo i lati del rettangolo a e b, a sull’asse x e b sull’asse y.
I limiti di integrazione saranno: x compreso tra 0 e a e y compreso tra 0 e b.
Dopo aver impostato le equazioni sopra Sx=INTEGRALE(esteso ad A)[ro(x,y).y.dA], Sy=INTEGRALE(esteso ad A)[ro(x,y).x.dA], si procede con l’integrazione delle due espressioni per ottenere Sx ed Sy.
Vengono applicate le regole di integrazione degli integrali doppi definiti.
Esempio di calcolo di momenti statici di sistema piano a massa distribuita
Nella lezione viene proposto l’esempio di una piastra in Calcestruzzo Armato di misura in pianta 4×3 metri.
Il lato lungo a è orientato come x. Il lato corto b è orientato come y. Lo spessore della piastra varia solo lungo y da 0,20 metri a 0,35 metri.
La densità superficiale della piastra varia linearmente con la coordinata y ed è data dalla funzione ro(x,y)=500+125y
I momenti statici che cerchiamo sono descritti dalle due espressioni generali evidenziate sopra:
Sx=INTEGRALE(esteso ad A)[ro(x,y).y.dA] e Sy=INTEGRALE(esteso ad A)[ro(x,y).x.dA]
In queste due relazioni inseriamo l’espressione di della funzione di massa areale distribuita ro(x,y)=500+125y, ottenendo
Sx=INTEGRALE(esteso ad A)[(500+125y).y.dA]
Sy=INTEGRALE(esteso ad A)[(500+125y).x.dA]
Il calcolo integrale che potrete seguire nella videolezione ci porterà a questi risultati:
Sx=13500 kg.m e Sy=16500 kg.m
La lezione termina considerando il caso di massa areale (o densità superficiale) costante per l’intera piastra.
Ebbene tale ipotesi ci porta alla definizione del momento statico relativo ad una superficie.
Ma adesso ti consiglio di seguire la videolezione. Buon studio.