Benvenuta/o su StaticaFacile, questa lezione è dedicata al calcolo dei Momenti d’Inerzia di un’Area – Tensore d’Inerzia.
L’argomento potrebbe interessare agli studenti di Ingegneria o di Architettura ma anche ai ragazzi e ragazze degli indirizzi CAT (Costruzioni Ambiente Territorio) delle scuole superiori.
Inoltre potrebbe essere interessante anche per gli studenti di Fisica.
Del resto, lo studio delle inerzie, nell’ambito della geometria delle masse, ha una notevole importanza in molti settori.
Ora, qui di seguito, ti anticipo la videolezione che ti esorto a seguire con calma.
Nel prosieguo troverai i dettagli scritti della videolezione.
Momenti d’Inerzia di un’Area – Tensore d’Inerzia: Definizione del Sistema di Riferimento e dell’area nel piano XY.
Il tensore d’inerzia rappresenta una grandezza geometrica fondamentale nella meccanica delle strutture, poiché descrive la distribuzione spaziale di una superficie piana.
Quando un’area generica A giace sul piano XY di un sistema cartesiano XYZ con origine non baricentrica, ogni suo punto è individuato dalle coordinate (x, y, 0).
La valutazione della resistenza e della rigidezza della sezione richiede l’analisi dei contributi di ciascun elemento infinitesimo d’area dA in termini di Momenti d’Inerzia e Prodotti d’Inerzia rispetto agli assi di riferimento fissati.
L’assenza di simmetria baricentrica implica che sia la posizione che l’orientamento del sistema determinano direttamente l’entità dei momenti e dei prodotti d’inerzia risultanti.
Momenti d’Inerzia di un’Area – Tensore d’Inerzia: Costruzione dei momenti d’inerzia assiali.
I Momenti d’Inerzia e i Prodotti d’Inerzia rispetto agli assi di riferimento si ottengono sommando i contributi d’inerzia elementari legati alla distanza al quadrato di ciascun elemento d’area dA dagli assi coordinati.
Rispetto all’asse X, la distanza di dA è pari a y, da cui la definizione del contributo elementare:
dIx = y2 ∙ dA
Integrando sull’intera superficie si definisce il Momento d’Inerzia Assiale Ix
Ix = ∫ y2dA
Alla stessa maniera, la distanza dall’asse Y è la coordinata x, da cui deriva il contributo elementare dIy e l’integrale Iy
dIy = x2 ∙ dA
Iy = ∫ x2dA
Per l’asse Z, perpendicolare al piano XY, la distanza l (elle) al quadrato dall’origine coincide con x2+y2.
Da qui il contributo polare elementare dIz e l’integrale Iz:
dIz = (x2 + y2)dA
Iz = ∫ (x2 + y2)dA
Valutazione dei Prodotti d’Inerzia
Oltre ai momenti assiali, la caratterizzazione geometrica dell’area A richiede la valutazione dei prodotti d’inerzia, detti anche momenti deviatori o momenti centrifughi o momenti misti.
Essi quantificano l’asimmetria dell’area rispetto alla coppia di assi considerata.
Nel piano XY, il contributo infinitesimo del prodotto d’inerzia dIxy è espresso dal prodotto delle coordinate per l’area elementare:
dIxy = x∙y∙dA
Da qui l’espressione integrale del prodotto d’inerzia:
Ixy = Iyx = ∫ xydA
Per quanto riguarda i piani coordinati ortogonali XZ e YZ, la quota z di ogni elemento infinitesimo appartiene all’insieme nullo (z=0).
Di conseguenza, i contributi deviatori elementari dIxz = dIzx e dIyz = dIzy si annullano, rendendo nulli anche i rispettivi integrali definiti Ixz = Izx e Iyz = Izy
dIxz = dIzx = xzdA e dIyz = dIzy = yzdA
Ixz = Izx = 0 e Iyz = Izy=0
Composizione matriciale del tensore IA
Componendo tutti i singoli integrali calcolati rispetto al sistema di riferimento XYZ non baricentrico, si ottiene la struttura matriciale del tensore d’inerzia dell’area IA.
La matrice simmetrica del terzo ordine presenta lungo la diagonale principale i momenti d’inerzia Ix, Iy e Iz.
Invece gli elementi extra-diagonali ospitano i prodotti d’inerzia presi con segno negativo.
Essendo nulli i termini accoppiati con l’asse Z, la rappresentazione tensoriale IA assume la forma compatta che segue
1° Riga Ix -Ixy 0,00
2° Riga -Iyx Iy 0,00
3° Riga 0,00 0,00 Iz
Essa fornisce la descrizione analitica completa dell’inerzia dell’area rispetto all’origine scelta.
Ma adesso ti consiglio di seguire la videolezione. Ti sarà utile.