Benventuta/o su StaticaFacile, questa lezione è dedicata ai Baricentri di Figure Piane Semplici.
Più precisamente al calcolo delle coordinate baricentriche XG e YG di quelle figure piane che possiamo definire semplici.
E allora, considerato l’argomento, avrai già capito che la lezione si rivolge agli studenti di Ingegneria, di Architettura e anche, volendo, dei corsi CAT (Costruzioni Ambiente Territorio) delle scuole superiori.
Con la locuzione “figure semplici” identifichiamo i seguenti tipi di sezione: (1) Poligoni regolari inscrivibili in un cerchio (2) Triangoli (3) Figure con almeno due assi di simmetria.
Qui e adesso ti manticipo la videolezione nel casu tu voglia vederla subito. I dettagli descrittivi li trovi nel seguito.
Baricentri di figure piane semplici: Poligoni regolari inscritti in un cerchio
Un poligono regolare inscritto in un cerchio presenta simmetrie che semplificano il calcolo delle coordinate baricentriche.
Il baricentro di questi poligoni coincide sempre con il centro del cerchio nel quale sono iscritti.
Se il sistema di riferimento ha origine nel centro del cerchio le coordinate baricentriche saranno XG=0 e YG=0 (Figura 2)
Tuttavia spesso è necessario porre l’origine del sistema di riferimento in un punto in basso a sinistra tale che la figura sia esattamente contenuta nel primo quadrante. (Figura 2)
Quindi l’asse X risulta tangente al lato del poligono che fa da base e l’asse Y risulta tangente ad un vertice, come nel caso del pentagono, o ad un altro lato del poligono come nel caso dell’ottagono. (Figura 2)
In questa situazione ci viene in aiuto la geometria dei poligoni regolari con i dati disponibili come l’apotema, gli angoli interni, il raggio del cerchio in cui il poligono è inscritto.
Nella lezione si propongono i seguenti esempi: quadrato, rettangolo, pentagono, esagono, ettagono (Figura 3) , ottagono.
Si considera inoltre il caso in cui le sezioni siano in vario modo forate.
Baricentri di Figure Piane Semplici: Triangoli
Il primo caso proposto è quello del triangolo scaleno qualsiasi di vertici A B C.
Come sappiamo dalla geometria (Teorema di Ceva e Teorema di Talete) le tre mediane di un triangolo si intersecano proprio nel punto baricentrico del triangolo stesso.
Inoltre ciascuna mediana risulta divisa dal punto baricentrico in due parti di cui una è doppia della seconda. (Figura 4)
In altre parole ciascuna mediana risulta divisa in tre parti uguali sicchè il baricentro è posizionato a 1/3 (o anche possiamo dire a 2/3) della lunghezza delle mediane. (Figura 4)
Del triangolo si considera nota tutta la geometria e cioè il lati a b c, gli angoli interni alfa beta gamma, le mediane ta tb tc.
La lunghezza di queste ultime è calcolabile col teorema di Stewart. (Figura 4)
Per esempio tc=radicequadrata((a^2+b^2)/2-c^2/4). (Figura 4)
Ovviamente troverete tutti i dettagli nella videolezione.
Ove qualche elemento geometrico del triangolo non dovesse essere noto si potranno usare i tipici teoremi di risoluzione: Teorema dei seni o di Eulero e Teorema del coseno o di Carnot.
Ora, se consideriamo come base il lato BC (lunghezza a) avremo a sinistra il cateto AB (lunghezza c) e a destra il cateto AC (lunghezza b). (Figura 5)
L’angolo compreso tra AB e BC sarà beta.
h sarà l’altezza relativa alla base BC.
L’origine del sistema di riferimento XY viene posta nel vertice B che è quello più in basso e più a sinistra. In questo modo la figura ricade interamente nel primo quadrante. (Figura 5)
In queste condizioni nella videolezione si dimostra che le coordinate baricentriche possono essere così calcolate (Figura 5) :
XG=a-(1/3).radicequadrata(2(a^2+b^2)-c^2(1+(sen(beta))^2))
YG=h/3
I risultati vengono poi estesi al triangolo retto, al triangolo scaleno ottusangolo (Figura 6) , al triangolo isoscele e al triangolo equilatero.
Sezioni con almeno due assi di simmetria
Sono figure come rettangoli, ellissi, croci, sezioni a doppio T che comunque presentano almeno due assi di simmetria. (Figura 7)
Esse sono dotate di un baricentro facilmente individuabile perché posto all’incrocio degli assi di simmetria.
Le coordinate baricentriche si calcolano con semplici considerazioni di natura geometrica meglio esplicitate nella videolezione.
Ma adesso ti consiglio di seguire la videolezione. Vedrai che ti sarà utile.